Discriminant

Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat.

En àlgebra, el discriminant d'un polinomi amb coeficients reals o complexos és una expressió dels coeficients del polinomi.^[1] Aquesta expressió dona zero si i només si el polinomi té arrels múltiples en el cos dels nombres complexos. Per exemple el discriminant del polinomi de segon grau^[2]

${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$     és     ${\displaystyle b^{2}-4ac}$.

El discriminant d'un polinomi de tercer grau^[3]

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$     és     ${\displaystyle b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd}$.

Aquest concepte també s'aplica si el polinomi té coeficients en un cos que no sigui subconjunt dels nombres complexos.^[4] En aquest cas el discriminant s'anul·la si i només si el polinomi té arrels múltiples en el corresponent cos de descomposició. El discriminant ve donat per

${\displaystyle a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}{(r_{i}-r_{j})^{2}}}$

on ${\displaystyle a_{n}}$ és el coeficient principal i ${\displaystyle r_{1},...,r_{n}}$ són arrels (tenint en compte la multiplicitat) del polinomi en algun cos de descomposició.^[5]

El concepte de discriminant s'ha generalitzat a altres estructures algebraiques més enllà dels polinomis, incloent còniques, formes quadràtiques, i camps de nombres algebraics. Els discriminants en la teoria de nombres algebraics estan relacionats i contenen informació sobre la ramificació. De fet, els altres tipus geomètrics de ramificació també estan relacionats amb tipus més abstractes de discriminant, fent de la idea de discriminant una idea algebraica central en moltes aplicacions.